مقدمة بسيطة لنظرية المحفظة الحديثة
نظرة رياضية على: "ماتحطش كل البيض في سلة واحدة"
على الأرجح جدتك قالتلك:
"ماتحطش كل البيض في سلة واحدة."
كانت بتبان نصيحة كويسة، بس هل فعلاً هتبني استراتيجية استثمار على مثل شعبي؟
ممكن تقول: "طيب، ليه أقسم فلوسي على أسهم مختلفة؟ واضح إن أسهم التفاح بتطير، ليه ما أحطش كل فلوسي فيها؟"
الإجابة مش بسيطة - عشان تفهمها، لازم تفكر من حيث حاجتين: المخاطر (Risk) والعوائد (Returns).
المشكلة: بنركز على العوائد بس!
تخيل معايا إنك بصيت على سهم معين:
"السنة اللي فاتت السهم ده طلع 10%. جميل! يعني لو حطيت 1000 جنيه، هاخد 1100 جنيه!"
بس استنى... فيه حاجة ناقصة!
السؤال المهم: قد إيه إنت متأكد إن السهم ده هيفضل يطلع 10% كل سنة؟
- هل ممكن السنة الجاية يطلع **15%**؟ ✅
- هل ممكن ينزل -5% (خسارة)؟ ⚠️
- هل ممكن يطير **30%**؟ ✅
- هل ممكن ينهار **-20%**؟ ⚠️
مستوى عدم اليقين ده (قد إيه النتيجة ممكن تتغير) - ده اللي بنسميه مخاطرة (Risk)!
يلا نعرّف المخاطرة والعائد بوضوح
في البوست ده، نظرية المحفظة الحديثة (Modern Portfolio Theory - MPT) هتتشرح بمعادلة بسيطة لتحليل المخاطر والعوائد، وهتوضح رياضياً ليه التنويع (Diversification) يقدر يقلل مخاطر الاستثمار.
فهم ده بيساعدك تاخد قرارات مالية أذكى - مش بس في الاستثمار، ده في حياتك بشكل عام!
يلا نبدأ بمثال عملي
عندك 1000 دولار:
- 500 دولار → أصل أ (سهم شركة معينة)
- 500 دولار → أصل ب (سهم شركة تانية)
بعد 5 سنين:
- الـ 500 دولار في الأصل أ → بقت 521 دولار (كسب 21 دولار) ✅
- الـ 500 دولار في الأصل ب → بقت 463 دولار (خسارة 37 دولار) ❌
ممكن تقول: "يبقى الأصل أ أحسن!"
استنى... شوف بعد 10 سنين:
- الـ 500 دولار في الأصل أ → بقت 554 دولار (كسب 54 دولار)
- الـ 500 دولار في الأصل ب → بقت 646 دولار (كسب 146 دولار!) 🎉
المفاجأة: الأصل ب اللي كان خسران في البداية، فاق الأصل أ على المدى الطويل!
إزاي نقيس قد إيه أصل مربح؟ (العائد - Return)
المعادلة:
العائد = (القيمة النهائية - القيمة الأولية) ÷ القيمة الأولية
حسابات الأصل أ:
- بعد 5 سنين: (521 - 500) ÷ 500 = 4.2% ✅
- بعد 10 سنين: (554 - 500) ÷ 500 = 10.8% ✅
حسابات الأصل ب:
- بعد 5 سنين: (463 - 500) ÷ 500 = -7.4% (خسارة!) ❌
- بعد 10 سنين: (646 - 500) ÷ 500 = 29.2% (مكسب كبير!) 🚀
إزاي نقيس قد إيه أصل محفوف بالمخاطر؟ (المخاطرة - Risk)
لاحظ حاجة مهمة:
- الأصل أ: قيمته ما نزلتش تحت الـ 500 دولار الأصليين أبداً - استقرار ✅
- الأصل ب: قيمته نزلت وطلعت كتير - في سنين نزل تحت 500 - تقلب ⚠️
الأصل أ = أقل مخاطرة (لكن عائد أقل) الأصل ب = أكتر مخاطرة (لكن عائد أكبر)
إزاي نقيس التقلب ده بدقة؟
نرسم العوائد السنوية (كل سنة كسبت أو خسرت قد إيه):
الخطوط المنقطة = المتوسط (متوسط العائد على مدار كل السنين)
القيمة المتوقعة (Expected Value):
- الأصل أ: 0.9% (كل سنة في المتوسط بتكسب أقل من 1%)
- الأصل ب: 2.6% (كل سنة في المتوسط بتكسب حوالي 2.6%)
لكن... الأصل ب بيتقلب أكتر!
الانحراف المعياري (Standard Deviation) - بيقيس قد إيه العوائد بتبعد عن المتوسط:
- الأصل أ: 0.014 (تقلب قليل - الخط الأزرق فاضل ثابت تقريباً)
- الأصل ب: 0.085 (تقلب كبير - الخط الأحمر بيتأرجح بشدة!)
الخلاصة:
- الأصل أ: عائد قليل (0.9%)، لكن مخاطر قليلة (0.014) - آمن ومستقر
- الأصل ب: عائد عالي (2.6%)، لكن مخاطر عالية (0.085) - مربح لكن متقلب
في عالم مثالي: كنا عايزين أصول عوائدها عالية ومخاطرها منخفضة - لكن ده نادر! في الغالب: عائد أكبر = مخاطر أكبر.
السحر: إزاي ندمج الأصول عشان نقلل المخاطر الإجمالية؟
تخيل معايا عندك سهمين منفصلين، كل واحد:
- القيمة المتوقعة: 10%
- الانحراف المعياري (المخاطر): 50%
import numpy as np
stock_1 = np.random.normal(loc=0.10, scale=0.5, size=10000) # 10% عائد، 50% مخاطر
stock_2 = np.random.normal(loc=0.10, scale=0.5, size=10000) # نفس الشيء
دلوقتي نعمل محفظة (Portfolio) - نحط نص الفلوس في السهم الأول ونص الفلوس في السهم التاني:
def stats(*stocks):
portfolio = np.array(stocks).sum(axis=0) / len(stocks) # المتوسط
print(f"القيمة المتوقعة: {portfolio.mean():.1%}, الانحراف المعياري: {portfolio.std():.1%}")
stats(stock_1, stock_2)
# النتيجة:
# القيمة المتوقعة: 10%, الانحراف المعياري: 35%
انتظر... إيه اللي حصل؟!
- القيمة المتوقعة (العائد): لسه 10% - زي ما هي! ✅
- الانحراف المعياري (المخاطر): نزل من 50% لـ 35%! 🎉
يعني إيه؟ نفس العائد، لكن مخاطر أقل! - ده سحر! ✨
لو زودنا عدد الأسهم؟
محفظة من 100 سهم (كل واحد 10% عائد، 50% مخاطر):
stats(*[
np.random.normal(loc=0.10, scale=0.5, size=10000)
for _ in range(100) # 100 سهم!
])
# النتيجة:
# القيمة المتوقعة: 10%, الانحراف المعياري: 5%
النتيجة المذهلة:
- العائد: لسه 10% ✅
- المخاطر: نزلت من 50% لـ 5%! 🚀
الخلاصة الذهبية: أصول كتيرة حافظت على العائد بينما قللت المخاطر بشكل درامي!
ماتتخطاش الرياضيات، صدقني!
ممكن تقول: "طيب، فهمت، التنويع كويس. خلاص!"
لأ مش كفاية! لازم تفهم الرياضيات عشان سببين:
السبب الأول: تقدير تقليل المخاطر
عايز تعرف: لو حطيت فلوسي في 10 أسهم بدل 5، المخاطر هتقل قد إيه بالظبط؟
الحل: نشغل محاكاة (Simulation) لأحجام محفظة مختلفة ونرسم النتائج:
الملاحظة:
- مع زيادة عدد الأصول → المخاطر بتقل
- لكن مش بنفس المعدل! - الفايدة بتقل مع كل إضافة
- بعد حوالي 20-30 أصل → الفايدة بتبقى قليلة جداً
السبب التاني (الأهم): معرفة امتى السحر ده يبطل يشتغل!
معادلة الانحراف المعياري للمحفظة:
المعادلة دي بتحسب مخاطر المحفظة من:
- الأوزان: w₁, w₂ (قد إيه من فلوسك في كل أصل)
- الانحرافات المعيارية: σ₁, σ₂ (مخاطر كل أصل لوحده)
- معامل الارتباط: ρ₁₂ (قد إيه الأصلين بيتحركوا مع بعض)
لو افترضنا محفظة بسيطة: أوزان متساوية (50% في كل أصل) وانحراف معياري متطابق (σ):
اهتم بشكل خاص بمعامل الارتباط (ρ₁₂):
ρ₁₂ = معامل الارتباط - بيقيس: الأصلين بيتحركوا مع بعض قد إيه؟
- ρ₁₂ = +1: مترابطين تماماً - لما واحد يطلع، التاني يطلع (بيتحركوا مع بعض)
- ρ₁₂ = 0: مش مترابطين - حركة واحد مالهاش علاقة بالتاني
- ρ₁₂ = -1: مترابطين عكسياً - لما واحد يطلع، التاني ينزل!
التأثير على مخاطر المحفظة:
الحالات الثلاثة:
1. لو ρ₁₂ = 1 (مترابطين تماماً):
- الانحراف المعياري للمحفظة = σ (نفس مخاطر الأصل الواحد!)
- مفيش فايدة من التنويع! ❌
2. لو ρ₁₂ = 0 (مش مترابطين):
- الانحراف المعياري للمحفظة = 0.71σ (حوالي 71% من مخاطر الأصل الواحد)
- التنويع قلل المخاطر بنسبة 29%! ✅
3. لو ρ₁₂ = -1 (مترابطين عكسياً):
- الانحراف المعياري للمحفظة = 0! (صفر مخاطر!)
- مخاطر اختفت تماماً! 🎉 (لكن ده نادر جداً في الواقع)
طيب إيه بقى بخصوص الأصول المترابطة؟
أحسن حالة (نادرة): أصول مترابطة عكسياً (ρ₁₂ = -1)
- مثال: سهم شركة طيران (بيطلع لما البترول رخيص) + سهم شركة بترول (بيطلع لما البترول غالي)
- النتيجة: مخاطر قريبة من الصفر!
أسوأ حالة: أصول مترابطة إيجابياً (ρ₁₂ = +1)
- مثال: كل أسهمك في بنوك - لما السوق المالي ينهار، كلهم ينهاروا!
- النتيجة: مخاطر المحفظة = نفس مخاطر الأصل الواحد (مفيش فايدة!)
الحالة الواقعية (الأشهر): أصول مترابطة جزئياً (ρ₁₂ بين 0 و 1)
- مثال: أسهم في قطاعات مختلفة (تكنولوجيا، صحة، عقارات)
- النتيجة: التنويع بيقلل المخاطر، لكن مش بيلغيها تماماً
الخلاصة: ليه المعادلة دي مهمة؟
التنويع بيشتغل، والرياضيات بتثبت ده. لكن... التنويع بس بيشتغل لو محفظتك متنوعة فعلاً!
مثال غلط (تنويع زائف):
- اشتريت 10 أسهم، كلهم في شركات تكنولوجيا
- المشكلة: لو قطاع التكنولوجيا ينهار → كل أسهمك تنهار!
- ρ₁₂ قريب من 1 (كلهم بيتحركوا مع بعض) → مفيش فايدة من التنويع!
مثال صح (تنويع حقيقي):
- اشتريت أسهم في:
- شركات تكنولوجيا
- شركات صحة ودوا
- عقارات
- ذهب
- سندات حكومية
- ρ₁₂ منخفض (مش كلهم بيتحركوا مع بعض) → التنويع شغال! ✅
القاعدة الذهبية: نوع في قطاعات مختلفة (Technology, Healthcare, Real Estate, Gold, Bonds...) مش في نفس القطاع!
طارق عمرو، 1 يناير 2024